21.05.2026
Komplex-wertige Chemometrie: Warum weder Absorbanz noch Raman-Intensität ausreichen
Dr. Thomas G. Mayerhöfer , Prof. Jürgen Popp , Leibniz-Institut für Photonische Technologien (IPHT)
Die quantitative Auswertung spektroskopischer Daten gehört seit Jahrzehnten zu den zentralen Aufgaben der analytischen Chemie. Insbesondere in der Infrarot- und Raman-Spektroskopie haben sich chemometrische Methoden etabliert, die es erlauben, aus komplexen Spektren Konzentrationen zu bestimmen.[1]
Die Grundlage dieser Verfahren ist in den meisten Fällen das (Bouguer-)Beer-Lambert-Gesetz, das eine lineare Beziehung zwischen Absorbanz und Konzentration postuliert.[2] Aufbauend auf dieser Annahme wurden Methoden wie die klassische kleinste-Quadrate-Regression (CLS), die inverse kleinste-Quadrate-Regression (ILS), die Hauptkomponentenregression (PCR) und die partielle kleinste-Quadrate-Regression (PLSR) entwickelt. [1]
Obwohl diese Methoden in der Praxis äußerst erfolgreich sind, gerät dabei häufig in den Hintergrund, dass ihre theoretische Grundlage nur unter bestimmten Bedingungen gültig ist.
Das Beer-Lambert-Gesetz ist keine fundamentale physikalische Gesetzmäßigkeit, sondern eine Näherung, die sich aus der elektromagnetischen Theorie des Lichts unter vereinfachenden Annahmen ableiten lässt. Insbesondere setzt es voraus, dass Absorptionseffekte schwach sind und dass chemische und elektromagnetisch induzierte Wechselwirkungen zwischen Molekülen vernachlässigt werden können. Diese Voraussetzungen sind in kondensierten Systemen jedoch oft nicht oder nicht ausreichend erfüllt.[3]
Ein wesentlicher Punkt, der in diesem Zusammenhang häufig übersehen wird, ist die Tatsache, dass die in der Spektroskopie verwendete Größe der Absorbanz keine grundlegende Materialeigenschaft darstellt. Vielmehr handelt es sich um eine abgeleitete Größe, die eng mit dem Imaginärteil des komplexen Brechungsindex verknüpft ist. Der komplexe Brechungsindex lässt sich schreiben als ň(v˜) = n(v˜) + ik(v˜), wobei n(v˜) den Realteil (Dispersion) und k(v˜) den Imaginärteil (Absorption) beschreibt (siehe Abbildung 1). Beide Größen sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern über die Kramers-Kronig-Relationen miteinander verknüpft. Diese Relationen sind eine direkte Konsequenz der Kausalität elektromagnetischer Wechselwirkungen und stellen sicher, dass Absorption und Dispersion konsistent beschrieben werden. [3]
Abb.1: Lokale und globale spektrale Information im komplexen Brechungsindex. (a) Der Imaginärteil k(ν˜) beschreibt die absorptive Wechselwirkung und liefert primär lokale spektrale Information in unmittelbarer Nähe von Resonanzen. (b) Der Realteil n(ν˜) ist über die Kramers-Kronig-Relation mit dem gesamten Spektrum verknüpft und enthält daher globale, dispersive Information, die auch außerhalb starker Absorptionsbanden erhalten bleibt. Die gestrichelte Linie markiert den frequenzunabhängigen Beitrag n∞.
Physikalisch enthält n∞ die integrierte Information über die gesamte Oszillatorstärke bei höheren Wellenzahlen, insbesondere im UV/Vis-Bereich. [3] Damit wird bereits deutlich, dass der Brechungsindex nicht nur lokale spektrale Eigenschaften widerspiegelt, sondern Informationen über einen deutlich erweiterten Frequenzbereich in sich trägt.
Die Fokussierung auf die Absorbanz bedeutet somit, dass nur ein Teil der physikalisch relevanten Information berücksichtigt wird. Der Realteil des Brechungsindex, der die dispersiven Eigenschaften eines Materials beschreibt, bleibt ungenutzt, obwohl er zusätzliche und oft komplementäre Informationen enthält. Besonders anschaulich zeigt sich dies in spektralen Bereichen, in denen keine oder nur geringe Absorption vorliegt. Während die Absorbanz dort nahezu keine Information liefert, kann der Brechungsindex dennoch deutliche Änderungen zeigen, da er durch Absorptionsprozesse bei anderen Wellenzahlen beeinflusst wird.
Diese Eigenschaft des Brechungsindex ist von grundlegender Bedeutung: Er stellt gewissermaßen ein integrierendes Maß dar, das die Auswirkungen von Absorption über einen breiten spektralen Bereich hinweg widerspiegelt. Dadurch wird es möglich, Informationen über die Zusammensetzung eines Systems auch in solchen Bereichen zu gewinnen, in denen die Absorbanz versagt. In diesem Sinne ist der Brechungsindex nicht nur eine alternative, sondern eine fundamentalere Größe für die quantitative Spektrenanalyse.
Historisch ist dieser Zusammenhang keineswegs neu. Bereits im 19. Jahrhundert wurde im Rahmen der Dispersionstheorie erkannt, dass Absorption und Brechung zwei Seiten derselben Medaille sind. Modelle wie die von Sellmeier, Helmholtz und Ketteler beschrieben die Wechselwirkung von Licht mit Materie durch gekoppelte Oszillatoren und führten letztlich zu einer konsistenten Beschreibung des komplexen Brechungsindex. Das Beer-Lambert-Gesetz lässt sich aus diesen Theorien nur unter zusätzlichen Näherungen ableiten, insbesondere unter der Annahme schwacher Absorption und vernachlässigbarer lokaler Feldeffekte. [3]
Trotz dieses physikalischen Hintergrunds hat sich in der analytischen Praxis eine starke Fokussierung auf die Absorbanz entwickelt. Ein Grund dafür liegt sicherlich in der experimentellen Zugänglichkeit dieser Größe sowie in ihrer einfachen Interpretierbarkeit. Darüber hinaus sind viele etablierte Datenbanken und Auswerteverfahren auf Absorbanzspektren ausgelegt, was ihre Verwendung zusätzlich begünstigt. Dies hat jedoch zur Folge, dass ein Großteil der physikalisch verfügbaren Information ungenutzt bleibt.
In den letzten Jahren haben sich die Möglichkeiten zur Bestimmung des komplexen Brechungsindex erheblich verbessert. Insbesondere in der Infrarotspektroskopie können entsprechende Größen heute routinemäßig aus Messdaten gewonnen werden, etwa durch die Kombination von n∞-Bestimmung mit der Attenuated Total Reflection (ATR)-Spektroskopie und Kramers-Kronig-Analysen.[4] Damit steht eine physikalisch konsistente Beschreibung der spektralen Eigenschaften von Materialien zur Verfügung, die weit über die klassische Absorbanz hinausgeht (siehe Abbildung 2).
Abb.2: Nichtlineares Mischungsverhalten als Konsequenz elektromagnetischer Wechselwirkungen.
Während Δk die klassische, absorptionsbasierte Nichtlinearität widerspiegelt, zeigt Δn in diesem Beispiel deutlich kleinere Abweichungen, was darauf zurückzuführen ist, dass der Realteil durch die Kramers-Kronig-Verknüpfung eine effektive Integration über das Spektrum darstellt und damit lokale Nichtlinearitäten teilweise mittelt. Die häufig beobachtete näherungsweise Linearität des Realteils in Mischungen ist keine bloße Glättung, sondern spiegelt die zugrunde liegenden Summenregeln der Oszillatorstärke wider.
Während lokale spektrale Verzerrungen im Imaginärteil auftreten, bleibt die integrierte Absorption - und damit die durch die Kramers-Kronig-Relation bestimmte Dispersion - näherungsweise additiv. Dies bedeutet nicht, dass der Realteil strikt linear ist, sondern dass er im Vergleich zum Imaginärteil deutlich stärker durch globale, näherungsweise additive Größen bestimmt wird, da die Kramers-Kronig-Summenregeln die integrierte Oszillatorstärke als extensive, näherungsweise additive Größe festlegen.
Vor diesem Hintergrund erscheint es konsequent, chemometrische Methoden nicht länger ausschließlich auf Absorbanzspektren anzuwenden, sondern auf Größen, die direkt aus der elektromagnetischen Theorie hervorgehen. Wenn sowohl der Imaginärteil als auch der Realteil des Brechungsindex Informationen über die Zusammensetzung eines Systems enthalten, stellt sich die Frage, warum diese Information nicht gemeinsam genutzt wird. Genau hier setzt die komplex-wertige Chemometrie an - nicht als neue Methode, sondern als Konsequenz dieser physikalischen Betrachtung. Nicht die Wahl der Regressionsmethode entscheidet über die Qualität chemometrischer Modelle, sondern die physikalische Angemessenheit der zugrunde liegenden spektralen Darstellung.
Von CLS zu PLSR - und warum die Physik entscheidet
Die klassischen chemometrischen Methoden unterscheiden sich auf den ersten Blick vor allem durch ihre mathematische Formulierung. Während die klassische kleinste-Quadrate-Regression (CLS) direkt auf der Annahme basiert, dass ein Spektrum als Linearkombination von Reinspektren beschrieben werden kann, kehrt die inverse kleinste-Quadrate-Regression (ILS) diese Beziehung um und modelliert die Konzentration als Funktion des Spektrums. Methoden wie die Hauptkomponentenregression (PCR) und die partielle kleinste-Quadrate-Regression (PLSR) gehen noch einen Schritt weiter, indem sie die Dimensionalität der Daten reduzieren und latente Variablen verwenden.
Diese Unterschiede sind in der chemometrischen Praxis gut bekannt und werden häufig im Hinblick auf Stabilität, Robustheit und Vorhersagegenauigkeit diskutiert. Weniger Beachtung findet jedoch die Tatsache, dass alle diese Methoden - unabhängig von ihrer mathematischen Ausgestaltung - auf denselben physikalischen Annahmen beruhen. Insbesondere wird vorausgesetzt, dass die spektralen Größen näherungsweise linear mit der Konzentration skalieren, wie es im Rahmen des Beer-Lambert-Gesetzes angenommen wird.
Wie bereits eingangs diskutiert, ist diese Linearität jedoch nur unter eingeschränkten Bedingungen gegeben. Selbst in thermodynamisch idealen Systemen treten systematische Abweichungen auf, die sich nicht als zufälliges Rauschen interpretieren lassen. Diese Abweichungen sind nicht das Ergebnis experimenteller Fehler, sondern eine direkte Konsequenz der zugrunde liegenden elektromagnetischen Wechselwirkungen. [3] Damit wird deutlich, dass die Wahl der Regressionsmethode allein nicht ausreicht, um diese Effekte zu kompensieren.
Vor diesem Hintergrund lohnt es sich, die klassischen Methoden noch einmal aus physikalischer Perspektive zu betrachten. CLS ist in gewisser Weise die konsequenteste Umsetzung der Beer-Lambert-Annahme: Es nutzt das gesamte Spektrum und setzt voraus, dass die Reinspektren bekannt sind. Unter idealen Bedingungen ist dies ein klar interpretierbares und leistungsfähiges Verfahren. In realen Systemen führt die Verletzung der Linearitätsannahme jedoch zu systematischen Fehlern, die sich über das gesamte Spektrum hinweg akkumulieren.
Ein interessanter Aspekt ergibt sich, wenn man CLS auf komplex-wertige Spektren anwendet.[5, 6] Durch die gleichzeitige Berücksichtigung von Real- und Imaginärteil des Brechungsindex wird nicht nur zusätzliche Information genutzt, sondern es entsteht auch eine Möglichkeit zur Identifikation systematischer Abweichungen. Insbesondere können imaginäre Anteile in den berechneten Konzentrationen als Indikator dafür dienen, dass die zugrunde liegenden Modellannahmen nicht vollständig erfüllt sind. In diesem Sinne liefert die komplex-wertige Erweiterung von CLS nicht nur eine quantitative Schätzung, sondern auch eine qualitative Bewertung der Modellgüte.
Während CLS stark von der Kenntnis der Reinspektren abhängt, verfolgt ILS einen anderen Ansatz. Hier wird die Konzentration direkt als Funktion des Spektrums modelliert, sodass keine vollständige Kenntnis aller Komponenten erforderlich ist. Diese Flexibilität macht ILS besonders attraktiv für komplexe Systeme. Gleichzeitig ergibt sich jedoch eine scheinbar paradoxe Situation: Obwohl CLS das gesamte Spektrum nutzt, kann ILS unter realen Bedingungen bessere Ergebnisse liefern, selbst wenn nur eine begrenzte Anzahl sorgfältig ausgewählter Wellenzahlen verwendet wird.
Die Ursache für dieses scheinbar paradoxe Verhalten liegt nicht in der Statistik, sondern in der Physik. Wenn die Linearitätsannahme nicht exakt erfüllt ist, kann es vorteilhaft sein, sich auf diejenigen spektralen Bereiche zu konzentrieren, in denen die Abweichungen vom idealen Verhalten minimal sind. ILS ermöglicht genau dies, indem es die Auswahl geeigneter Wellenzahlen implizit oder explizit berücksichtigt. Die komplex-wertige Erweiterung von ILS verstärkt diesen Effekt zusätzlich, da sie die durch Dispersion bereitgestellte Information einbezieht. In der Praxis zeigt sich, dass sich die Vorhersagefehler auf diese Weise deutlich reduzieren lassen.[7]
Mit zunehmender Komplexität der Systeme stoßen sowohl CLS als auch ILS an ihre Grenzen, insbesondere wenn die spektralen Variablen stark korreliert sind (zumindest, wenn sie auf der Absorbanz als scheinbare Messgröße beruhen). Hier kommen Methoden wie PCR und PLSR ins Spiel, die auf einer Reduktion der Dimensionalität basieren. PCR extrahiert Hauptkomponenten, die die Varianz der Spektren maximieren, während PLSR zusätzlich die Kovarianz mit der Zielgröße berücksichtigt. Beide Ansätze haben sich in der Spektroskopie als äußerst leistungsfähig erwiesen.
Die Übertragung dieser Methoden auf komplex-wertige Spektren führt jedoch zu neuen Fragestellungen.[8, 9] Während reelle Hauptkomponenten eindeutig bestimmt sind, eröffnet die komplexe Darstellung zusätzliche Freiheitsgrade. So können die Hauptkomponenten im komplexen Raum unterschiedliche Phasenbeziehungen aufweisen, was zu einer Vielzahl möglicher Lösungen führt. Dies erschwert zwar die Interpretation, bietet jedoch gleichzeitig die Möglichkeit, Modelle zu finden, die die physikalischen Zusammenhänge besser widerspiegeln.
Bei der komplex-wertigen PLSR zeigt sich besonders deutlich, dass die zusätzliche Information aus dem Realteil des Brechungsindex genutzt werden kann, um die Vorhersagegenauigkeit erheblich zu verbessern. In Systemen, in denen sich die Brechungsindizes der reinen Komponenten bei hohen Wellenzahlen unterscheiden, kann dies zu einer drastischen Reduktion der Fehler führen.[9] Gleichzeitig wird jedoch auch sichtbar, dass die Wahl der optimalen Lösung im komplexen Raum nicht trivial ist und eine sorgfältige Modellvalidierung erfordert.
Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, dass die hierarchische Einordnung der Methoden, wie sie in der klassischen Chemometrie häufig vorgenommen wird, ins Wanken gerät. Während PLSR traditionell als leistungsfähigste Methode gilt, zeigt sich in komplex-wertigen Ansätzen, dass einfachere Methoden wie ILS durchaus konkurrenzfähig sein können oder sogar bessere Ergebnisse liefern. Dies deutet darauf hin, dass die Leistungsfähigkeit einer Methode weniger von ihrer mathematischen Komplexität als vielmehr von der physikalischen Angemessenheit der verwendeten Daten abhängt.[10]
Damit verschiebt sich der Fokus von der Frage, welche Regressionsmethode die beste ist, hin zu der Frage, welche Darstellung der spektralen Daten die physikalischen Eigenschaften eines Systems am besten erfasst. Die Einführung komplex-wertiger Spektren stellt in diesem Zusammenhang einen entscheidenden Schritt dar, da sie es ermöglicht, sowohl Absorption als auch Dispersion konsistent zu berücksichtigen und damit die Grundlage für eine physikalisch fundierte chemometrische Analyse zu schaffen. Damit wird deutlich, dass die eigentliche Herausforderung nicht in der Wahl der Regressionsmethode liegt, sondern in der physikalisch angemessenen Beschreibung der spektralen Daten selbst.
Von Absorbanz zu χ(1) und χ(3) - ein Paradigmenwechsel
Die bisherige Diskussion hat gezeigt, dass die Erweiterung chemometrischer Methoden auf komplex-wertige Spektren nicht nur eine mathematische Verfeinerung darstellt, sondern eine direkte Konsequenz der zugrunde liegenden Physik ist. Während im ersten Teil die Rolle des komplexen Brechungsindex als fundamentale Größe herausgestellt wurde und im zweiten Teil die Auswirkungen auf klassische Regressionsmethoden diskutiert wurden, stellt sich nun die Frage, wie weit sich dieses Konzept verallgemeinern lässt.
Ein entscheidender Schritt besteht darin, die Betrachtung nicht auf den Brechungsindex zu beschränken, sondern auf die zugrunde liegenden materialphysikalischen Antwortfunktionen zu erweitern. In der Infrarotspektroskopie ist das gemessene Signal eng mit dem Imaginärteil der linearen Suszeptibilität χ(1) verknüpft, während der Realteil über die Kramers-Kronig-Relationen bestimmt werden kann. Beide zusammen beschreiben die vollständige lineare Antwort eines Materials auf elektromagnetische Anregung. Der komplexe Brechungsindex stellt dabei lediglich eine alternative Darstellung dieser Antwort dar.[3]
Ein analoger Zusammenhang existiert in der Raman-Spektroskopie. Hier ist das gemessene Signal mit der dritten Ordnung der Suszeptibilität χ(3) verbunden. Auch in diesem Fall gilt, dass der gemessene Imaginärteil nur einen Teil der Information darstellt und über Kramers-Kronig-Relationen mit einem entsprechenden Realteil verknüpft ist. Damit lässt sich auch für Raman-Spektren eine konsistente komplexe Darstellung konstruieren, die den gleichen physikalischen Prinzipien folgt wie im infraroten Bereich.[10]
Diese Beobachtung ist von grundlegender Bedeutung, da sie zeigt, dass komplex-wertige Chemometrie kein auf die Infrarotspektroskopie beschränktes Konzept ist, sondern sich prinzipiell auf alle spektroskopischen Methoden anwenden lässt, die auf linearen oder nichtlinearen Antwortfunktionen beruhen. Entscheidend ist dabei nicht die konkrete Messgröße, sondern die Möglichkeit, eine kausal konsistente komplexe Darstellung zu erzeugen.
In der Praxis erfolgt dies durch die Kombination der gemessenen spektralen Intensitäten mit ihren Kramers-Kronig-transformierten Gegenstücken. Während der gemessene Teil typischerweise dem Imaginärteil entspricht, liefert die Transformation den zugehörigen Realteil. Moderne numerische Verfahren ermöglichen es, diese Transformation effizient und stabil durchzuführen, sodass komplex-wertige Spektren ohne großen zusätzlichen Aufwand aus konventionellen Daten gewonnen werden können.[10]
Die Anwendung chemometrischer Methoden auf diese komplexen Spektren führt zu einer Reihe bemerkenswerter Konsequenzen. Zum einen zeigt sich, dass die Vorhersagegenauigkeit gegenüber rein reellen Ansätzen sehr oft verbessert werden kann. Dies gilt sowohl für einfache, nahezu ideale Systeme als auch für komplexe, nichtideale Mischungen und sogar für biologische Proben. Zum anderen eröffnet die komplexe Darstellung neue Möglichkeiten zur Interpretation der Ergebnisse.
Insbesondere liefern die imaginären Anteile der berechneten Konzentrationen oder Regressionskoeffizienten Hinweise auf systematische Abweichungen von den zugrunde liegenden Modellannahmen. Während solche Abweichungen in klassischen Ansätzen häufig als Rauschen interpretiert oder durch zusätzliche Modellkomplexität kompensiert werden, können sie im komplexen Formalismus direkt sichtbar gemacht werden. Dies ermöglicht eine differenziertere Analyse, bei der nicht nur die Qualität der Vorhersage, sondern auch die physikalische Konsistenz des Modells bewertet werden kann.
Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die Beziehung zwischen den verschiedenen chemometrischen Methoden im komplexen Raum. Wie bereits angedeutet, verliert die traditionelle Hierarchie der Verfahren an Bedeutung, wenn komplex-wertige Daten verwendet werden. Insbesondere zeigt sich, dass Methoden wie ILS, die im klassischen Kontext oft als weniger leistungsfähig gelten, in der komplexen Darstellung mit oder sogar besser als PLSR abschneiden können. Dies unterstreicht erneut, dass die Wahl der Datenrepräsentation eine zentrale Rolle spielt.
Darüber hinaus wird deutlich, dass komplex-wertige Chemometrie eine Brücke zwischen zwei bislang weitgehend getrennten Ansätzen schlägt: der klassischen, auf dem Beer-Lambert-Gesetz basierenden Chemometrie und der auf elektromagnetischer Theorie beruhenden Beschreibung von Spektren. Während erstere vor allem auf empirische Zusammenhänge fokussiert, liefert letztere eine physikalisch konsistente Grundlage. Die Kombination beider Ansätze ermöglicht es, die Stärken beider Welten zu nutzen.
Damit eröffnet sich eine neue Perspektive für die quantitative Spektrenanalyse. Anstatt sich ausschließlich auf Absorbanz oder andere direkt gemessene Größen zu konzentrieren, wird es möglich, die vollständige komplexe Antwort eines Systems zu berücksichtigen. Dies führt nicht nur zu verbesserten Vorhersagen, sondern auch zu einem tieferen Verständnis der zugrunde liegenden physikalischen Prozesse.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass komplex-wertige Chemometrie weit mehr ist als eine Erweiterung bestehender Methoden. Sie stellt einen Ansatz dar, der die physikalischen Grundlagen der Spektroskopie konsequent in die Datenanalyse integriert. Damit bietet sie die Möglichkeit, sowohl die Genauigkeit als auch die Aussagekraft chemometrischer Modelle nachhaltig zu verbessern.
Vor diesem Hintergrund erscheint die komplex-wertige Chemometrie nicht als Endpunkt, sondern als ein entscheidender Zwischenschritt in einer weitergehenden Entwicklung. Wie sich insbesondere bei realen Systemen zeigt, lassen sich die vielfältigen Abweichungen vom Beer-Lambert-Verhalten - etwa durch Interferenz, lokale Felder, Nichtidealität oder komplexe biologische Matrizen - weder rein analytisch noch rein empirisch vollständig erfassen.
Während klassische Chemometrie diese Effekte implizit kompensiert und komplex-wertige Ansätze sie physikalisch konsistent zugänglich machen, eröffnet sich mit physik-informierten, komplex-wertigen neuronalen Netzen die Möglichkeit, diese Effekte direkt zu modellieren. Solche Modelle können die durch Kramers-Kronig-Relationen vorgegebene Kopplung von Real- und Imaginärteil ebenso berücksichtigen wie wellenoptische Randbedingungen, Geometrieeffekte und materialspezifische Eigenschaften, und damit eine Brücke zwischen datengetriebenen und physikalisch fundierten Ansätzen schlagen.
In dieser Perspektive wird auch deutlich, dass die eigentliche Zielgröße der spektroskopischen Analyse nicht mehr das Spektrum selbst ist, sondern das physikalische System, das dieses Spektrum erzeugt. Das Konzept des personalisierten optischen "Digital Twin" greift genau diesen Gedanken auf: Es beschreibt ein dynamisches, kontinuierlich aktualisiertes Modell eines individuellen Systems - etwa eines biologischen Gewebes oder eines Patienten - das auf multimodalen, insbesondere photonenbasierten Messdaten beruht und dessen Zustand in Echtzeit abbildet.[11]
Spektren sind in diesem Zusammenhang keine isolierten Messgrößen mehr, sondern Beobachtungen, mit denen dieses Modell angepasst und validiert wird. Komplex-wertige Chemometrie nimmt hier eine Schlüsselrolle ein, da sie den direkten Zugang zur vollständigen optischen Antwort eines Systems ermöglicht und damit eine physikalisch konsistente Schnittstelle zwischen Messung und Modell darstellt. In Kombination mit lernenden, physik-informierten Ansätzen entsteht so eine neue Form der Spektrenauswertung, in der Messung, Modellierung und Vorhersage nicht mehr getrennt betrachtet werden können (siehe Abbildung 3).
Abb.3: Von der Beer-Lambert-Näherung zur physikalisch informierten Datenanalyse.
Referenzen
- H. Mark, J. Workman, Chemometrics in Spectroscopy: Revised Second Edition, Academic Press, 2021.
- T.G. Mayerhöfer, S. Pahlow, J. Popp, The Bouguer-Beer-Lambert Law: Shining Light on the Obscure, ChemPhysChem, 21 (2020) 2029-2046.
- T.G. Mayerhöfer, Wave Optics in Infrared Spectroscopy - Theory, Simulation and Modeling, Elsevier, Philadelphia, 2024.
- T.G. Mayerhöfer, W.D.P. Costa, J. Popp, Sophisticated Attenuated Total Reflection Correction Within Seconds for Unpolarized Incident Light at 45°, Appl. Spectrosc., 78 (2024) 321-328.
- T.G. Mayerhöfer, O. Ilchenko, A. Kutsyk, J. Popp, Quantitative Chemometrics using Refractive Index Spectra, Appl. Spectrosc., 79 (2025) 1659-1664.
- T.G. Mayerhöfer, O. Ilchenko, A. Kutsyk, J. Popp, Complex-Valued Chemometrics in Spectroscopy: Classical Least Squares Regression, Appl. Spectrosc., 79 (2025) 1768-1775.
- T.G. Mayerhöfer, O. Ilchenko, A. Kutsyk, J. Popp, Complex-valued Chemometrics in Spectroscopy: Inverse Least Square Regression, Appl. Spectrosc., 80 (2025) 100-108.
- T.G. Mayerhöfer, O. Ilchenko, A. Kutsyk, J. Popp, Complex-valued Chemometrics in Spectroscopy: Principal Component Regression, Appl. Spectrosc., 0 (2025) 00037028251393273.
- T.G. Mayerhöfer, O. Ilchenko, A. Kutsyk, J. Popp, Complex-valued Chemometrics in Spectroscopy: Partial Least Squares Regression, Appl. Spectrosc., 0 (2025) 00037028251401941.
- T.G. Mayerhöfer, O. Ilchenko, A. Kutsyk, S. Piehler, A. Silge, A. Ramoji, A. Winterfeld, O. Ryabchykov, M. Kiehntopf, T. Bocklitz, J. Popp, Complex-valued Chemometrics for Analyzing Absorbance or Raman Spectra, Anal. Chem., (2026).
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